Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và cạnh BAC=120 ° , cạnh bên BB'=a, gọi I là trung điểm của CC'. Côsin góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng.
A. 20 10
B. 30
C. 30 10
D. 30 5
Cho hình lăng trụ đứng A B C . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân với A B = A C = a và góc B A C = 120 ° , cạnh bên B B ' = a ,gọi I là trung điểm của CC'. Côsin góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng.
A. 20 10
B. 30
C. 30 10
D. 30 5
Chọn C.
Phương pháp:
Cách giải: Gọi J là giao điểm của B’I và BC. Suy ra AJ là giao tuyến của (AB’I) và (ABC).
Gọi K là hình chiếu của C lên AJ. Suy ra AJ vuông góc với KI.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và cạnh B A C ⏜ = 120 0 , cạnh bên BB'=a, gọi I là trung điểm của CC’. Côsin góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (AB’I) bằng:
A. 20 10
B. 3
C. 30 10
D. 30 10
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 1200, cạnh bên BB’ = a, gọi I là trung điểm của CC’. Côsin góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (AB’I) bằng:
A. 20 10
B. 30
C. 30 10
D. 30 5
Đáp án C
Phương pháp: Phương pháp tọa độ hóa.
Cách giải:
Cách 1:
Gọi O là trung điểm của BC.
Tam giác ABC là tam giác cân, AB = AC = a, B A C ^ = 120 0
Ta gắn hệ trục tọa độ như hình bên:
Trong đó, O(0;0;0); A(0; a 2 ;0); B' ( a 3 2 ;0;a); I( - a 3 2 ;0; a 2 )
Mặt phẳng (ABC) trùng với mặt phẳng (Oxy) và có VTPT là n 1 → = ( 0 ; 0 ; 1 )
I B ' → = a 3 ; 0 ; a 2 ; I A → = a 3 2 ; a 2 ; - a 2
Mặt phẳng (IB’A) có 1 VTPT n 2 → = 2 3 ; 0 ; 1 ; 3 ; 1 ; - 1 = 1 ; 3 3 ; 2 3
Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (IB’A) :
cos((ABC);(AB'I)) = |cos( n 1 → ; n 2 → )| =
Cách 2:
Trong (ACC’A’) kéo dài AI cắt AC’tại D.
Trong (A’B’C’) kẻ A’H ⊥ B’D ta có:
=>
Ta dễ dàng chứng minh được C’ là trung điểm của AD’
=>
Xét tam giác A’B’D có
B'D =
=>
Xét tam giác vuông AA'H có :
=>
Cho hình lăng trụ đứng A B C . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân, A B = A C = a , B A C ^ = 120 ° ,
B B ' = a , I là trung điểm của CC'. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng A B C và A B ' I . Tính cos α
A. cos α = 3 10
B. cos α = 3 10
C. cos α = 3 10
D. cos α = 2 5
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a; BAC=120º và AA’ = a. Gọi I là trung điểm của CC' (như hình vẽ). Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Đáp án A
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AB’I) là
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có A A ' = A B = A C = 1 và B A C ^ = 120 ° . Gọi I là trung điểm cạnh CC'. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng
A. 30 10
B. 70 10
C. 30 20
D. 370 20
Gọi
Khi đó
Ta tính được
Ta có
Vậy
Chọn A.
Cách 2. Vì ∆ ABC là hình chiếu của ∆ AB'I trên mp (ABC) nên
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh bên AA'=2a,AB=AC =a, góc B A C ^ = 120 ° . Gọi M là trung điểm của BB' thì cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AC'M) là:
A. 3 31
B. 5 5
C. 3 15
D. 93 31
Đáp án D
Nhận thấy ∆ A B C là hình chiếu của ∆ A M C ' lên mặt phẳng (ABC).
Gọi φ là góc giữa (AMC') và ( A B C ) ⇒ S ∆ A B C = S ∆ A M C ' . cos φ ⇒ cos φ = S ∆ A B C S ∆ A M C '
Ta có S ∆ A B C = 1 2 a 2 . sin 120 ° = a 2 3 4
A ' C = a 5 ; A M = a 2 ; B C = a 2 + a 2 - 2 a cos 120 ° = a 3 ⇒ C ' M = 2 a
Đặt p = a 5 + a 2 + 2 a 2
⇒ S ∆ A M C ' = p ( p - a 2 ) ( p - a 5 ) ( p - 2 a ) = 31 4 a 2
⇒
cos
φ
=
a
2
3
4
.
4
31
a
2
=
3
31
=
93
31
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA'=AB=AC=1, B A C ^ = 120 ° Gọi M là trung điểm cạnh CC′. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′M) bằng
A. 30 10
B. 70 10
C. 30 20
D. 370 20
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = AB =AC =1 và B A C ^ = 120 o Gọi I là trung điểm cạnh CC' Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng
A. 30 10
B. 70 10
C. 30 20
D. 370 20